如图所示， “L” 型平板 B 静置在地面上，小物块 A 处于平板 B 上的 点，
点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为 M 的小球悬挂在
点正上方的 O 点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块 A 发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于
）， A 以速度
沿平板滑动直至与 B 右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后， A 返回到 O 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知 A 的质量
， B 的质量
， A 与 B 的动摩擦因数
， B 与地面间的动摩擦因数
，取重力加速度
。整个过程中 A 始终在 B 上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（ 1 ） A 与 B 的挡板碰撞后，二者的速度大小 与
；
（ 2 ） B 光滑部分的长度 d ；
（ 3 ）运动过程中 A 对 B 的摩擦力所做的功 ；
（ 4 ）实现上述运动过程， 的取值范围（结果用
表示）。
（ 1 ） ，
；（ 2 ）
；（ 3 ）
；（ 4 ）
【详解】（ 1 ）设水平向右为正方向，因为 点右侧光滑，由题意可知 A 与 B 发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）
即 A 和 B 速度的大小分别为 ，
。
（ 2 ）如图所示为 A 与 B 挡板碰撞后到运动至 O 点正下方的运动示意图
A 回到 前， A 在 B 上匀速直线运动的时间设为
。 A 的位移大小
对平板 B ，由牛顿第二定律得
对平板 B ，由运动学公式有
由几何关系
①
A 从 回到 O 点正下方设时间为
， A 在 B 上做匀减速直线运动，设 A 的加速度大小为
，由牛顿第二定律得
解得
A 返回到 O 点的正下方时，相对于地面的速度减为零，则
时间内 A 相对于地面的位移大小
由几何关系
②
联立解得
或
，
由 ①② 可得
与
等大
分析可知， A 回到 O 点正下方时 B 未减速为 0 ，故
舍去。综上解得
（ 3 ）在 A 刚开始减速时， B 物体的速度为
在 A 减速过程中，对 B 分析根据牛顿运动定律可知
解得
B 物体停下来的时间为 t 3 ，则有
解得
可知在 A 减速过程中 B 先停下来了，此过程中 B 的位移为
所以 A 对 B 的摩擦力所做的功为
（ 4 ）小球和 A 碰撞后 A 做匀速直线运动再和 B 相碰，此过程有
由题意可知 A 返回到 O 点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为 T ，摆长为 L ，则有
由单摆周期公式 解得，小球到悬挂点 O 点的距离
小球下滑过程根据动能定理有
当碰后小球摆角恰为 5° 时，有
解得
，
小球与 A 碰撞过程根据动量守恒定律有
小球与 A 碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于 ），则要求
故要实现这个过程的范围为
中国 “ 人造太阳 ” 在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系 中，
空间内充满匀强磁场 I ，磁感应强度大小为 B ，方向沿 x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场 II ，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与 x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿 y 轴负方向的匀强电场。质量为 m 、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度出射，速度方向与
轴正方向夹角为
，在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场 I 。不计离子重力。
（ 1 ）当离子甲从 点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（ 2 ）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度 ；
（ 3 ）离子甲以 的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场 I ，求第四次穿过
平面的位置坐标（用 d 表示）；
（ 4 ）当离子甲以 的速度从
点进入磁场 I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，也从
点沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场 I ，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
（ 1 ） ；（ 2 ）
；（ 3 ）（ d ， d ，
）；（ 4 ）
【详解】（ 1 ）如图所示
将离子甲从 点出射速度为
分解到沿
轴方向和
轴方向，离子受到的电场力沿
轴负方向，可知离子沿
轴方向做匀速直线运动，沿
轴方向做匀减速直线运动，从
到
的过程，有
联立解得
（ 2 ）离子从坐标原点 沿
轴正方向进入磁场 I 中，在磁场 I 中做匀速圆周运动，经过磁场 I 偏转后从
轴进入磁场 II 中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得
，
可得
为了使离子在磁场中运动，则离子磁场 I 运动时，不能从磁场 I 上方穿出。在磁场 II 运动时，不能 xOz 平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足
，
联立可得
要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为 ；
（ 3 ）离子甲以 的速度从
点沿 z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场 I ，离子在磁场 I 中的轨迹半径为
离子在磁场 II 中的轨迹半径为
离子从 点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过 平面的
坐标为
离子第四次穿过 平面的
坐标为
故离子第四次穿过 平面的位置坐标为（ d ， d ，
）。
（ 4 ）设离子乙的速度为 ，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲、离子乙在磁场 I 中的轨迹半径分别为
，
离子甲、离子乙在磁场 II 中的轨迹半径分别为
，
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过 x 轴的位置，如图所示
从 点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
某粮库使用额定电压 ，内阻
的电动机运粮。如图所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度
沿斜坡匀速上行，此时电流
。关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程 L 到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量
，车上粮食质量
，配重质量
，取重力加速度
，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为 k ，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量。求：
（ 1 ）比例系数 k 值；
（ 2 ）上行路程 L 值。
（ 1 ） ；（ 2 ）
【详解】（ 1 ）设电动机的牵引绳张力为 ，电动机连接小车的缆绳匀速上行，由能量守恒定律有
解得
小车和配重一起匀速，设绳的张力为 ，对配重有
设斜面倾角为 ，对小车匀速有
而卸粮后给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行，有
联立各式解得
，
（ 2 ）关闭发动机后小车和配重一起做匀减速直线运动，设加速度为 ，对系统由牛顿第二定律有
可得
由运动学公式可知
解得
某些鱼类通过调节体内鱼鳔的体积实现浮沉。如图所示，鱼鳔结构可简化为通过阀门相连的 A 、 B 两个密闭气室， A 室壁厚、可认为体积恒定， B 室壁簿，体积可变；两室内气体视为理想气体，可通过阀门进行交换。质量为 M 的鱼静止在水面下 H 处。 B 室内气体体积为 V ，质量为 m ；设 B 室内气体压强与鱼体外压强相等、鱼体积的变化与 B 室气体体积的变化相等，鱼的质量不变，鱼鳔内气体温度不变。水的密度为 ρ ，重力加速度为 g 。大气压强为 p 0 ，求：
（ 1 ）鱼通过增加 B 室体积获得大小为 a 的加速度、需从 A 室充入 B 室的气体质量 D m ；
（ 2 ）鱼静止于水面下 H 1 处时， B 室内气体质量 m 1 。
（ 1 ） ；（ 2 ）
【详解】（ 1 ）由题知开始时鱼静止在 H 处，设此时鱼的体积为 ，有
且此时 B 室内气体体积为 V ，质量为 m ，则
鱼通过增加 B 室体积获得大小为 a 的加速度，则有
联立解得需从 A 室充入 B 室的气体质量
（ 2 ） B 室内气体压强与鱼体外压强相等，则鱼静止在 H 处和水面下 H 1 处时， B 室内的压强分别为
，
由于鱼静止时，浮力等于重力，则鱼的体积不变，由于题可知，鱼体积的变化与 B 室气体体积的变化相等，则鱼在水下静止时， B 室内气体体积不变，由题知开始时鱼静止在 H 处时， B 室内气体体积为 V ，质量为 m ，由于鱼鳔内气体温度不变，若 ，则在 H 处时， B 室内气体需要增加，设吸入的气体体积为 Δ V ，根据玻意耳定律有
则此时 B 室内气体质量
若 ，则在 H 处时， B 室内气体需要减少，设释放的气体体积为 Δ V ，根据玻意耳定律有
则此时 B 室内气体质量
某同学利用实验室现有器材，设计了一个测量电阻阻值的实验。实验器材：
干电池 E （电动势 1.5V ，内阻未知）；
电流表 A 1 （量程 10mA ，内阻为 90Ω ）；
电流表 A 2 （量程 30mA ，内阻为 30Ω ）；
定值电阻 R 0 （阻值为 150Ω ）；
滑动变阻器 R （最大阻值为 100Ω ）；
待测电阻 R x ；
开关 S ，导线若干。
测量电路如图所示。
（ 1 ）断开开关，连接电路，将滑动变阻器 R 的滑片调到阻值最大一端。将定值电阻 R 0 接入电路；闭合开关，调节滑片位置。使电流表指针指在满刻度的 处。该同学选用的电流表为 （填 “A 1 ” 或 “A 2 ” ）；若不考虑电池内阻。此时滑动变阻器接入电路的电阻值应为 Ω 。
（ 2 ）断开开关，保持滑片的位置不变。用 R x 替换 R 0 ，闭合开关后，电流表指针指在满刻度的 处，则 R x 的测量值为 Ω 。
（ 3 ）本实验中未考虑电池内阻，对 R x 的测量值 （填 “ 有 ” 或 “ 无 ” ）影响
A 1 60 100 无
【详解】（ 1 ） [1] 若不考虑电源内阻，且在电源两端只接 R 0 时，电路中的电流约为
由题知，闭合开关，调节滑片位置，要使电流表指针指在满刻度的 处，则该同学选到的电流表应为 A 1 。
[2] 当不考虑电源内阻，根据闭合电路的欧姆定律有
计算出
R = 60Ω
（ 2 ） [3] 断开开关，保持滑片的位置不变，用 R x 替换 R 0 ，闭合开关后，有
代入数据有
R x = 100Ω
（ 3 ） [4] 若考虑电源内阻，根据闭合电路的欧姆定律有
联立计算出的 R x 不受电源内阻 r 的影响。
在天宫课堂中、我国航天员演示了利用牛顿第二定律测量物体质量的实验。受此启发。某同学利用气垫导轨、力传感器、无线加速度传感器、轻弹簧和待测物体等器材设计了测量物体质量的实验，如图甲所示。主要步骤如下：
① 将力传感器固定在气垫导轨左端支架上，加速度传感器固定在滑块上；
② 接通气源。放上滑块。调平气垫导轨；
③ 将弹簧左端连接力传感器，右端连接滑块。弹簧处于原长时滑块左端位于 O 点。 A 点到 O 点的距离为 5.00cm ，拉动滑块使其左端处于 A 点，由静止释放并开始计时；
④ 计算机采集获取数据，得到滑块所受弹力 F 、加速度 a 随时间 t 变化的图像，部分图像如图乙所示。
回答以下问题（结果均保留两位有效数字）：
（ 1 ）弹簧的劲度系数为 N/m 。
（ 2 ）该同学从图乙中提取某些时刻 F 与 a 的数据，画出 a — F 图像如图丙中 I 所示，由此可得滑块与加速度传感器的总质量为 kg 。
（ 3 ）该同学在滑块上增加待测物体，重复上述实验步骤，在图丙中画出新的 a — F 图像 Ⅱ ，则待测物体的质量为 kg 。
12 0.20 0.13
【详解】（ 1 ） [1] 由题知，弹簧处于原长时滑块左端位于 O 点， A 点到 O 点的距离为 5.00cm 。拉动滑块使其左端处于 A 点，由静止释放并开始计时。结合图乙的 F — t 图有
Δ x = 5.00cm ， F = 0.610N
根据胡克定律
计算出
k ≈ 12N/m
（ 2 ） [2] 根据牛顿第二定律有
F = ma
则 a — F 图像的斜率为滑块与加速度传感器的总质量的倒数，根据图丙中 I ，则有
则滑块与加速度传感器的总质量为
m = 0.20kg
（ 3 ） [3] 滑块上增加待测物体，同理，根据图丙中 II ，则有
则滑块、待测物体与加速度传感器的总质量为
m ′ ≈ 0.33kg
则待测物体的质量为
Δ m = m ′ - m = 0.13kg
如图所示， 平面的第一、三象限内以坐标原点 O 为圆心、半径为
的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为 L 的正方形金属框绕其始终在 O 点的顶点、在
平面内以角速度
顺时针匀速转动，
时刻，金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响，关于金属框中感应电动势 E 随时间 t 变化规律的描述正确的是（ ）
A ．在 到
的过程中， E 一直增大
B ．在 到
的过程中， E 先增大后减小
C ．在 到
的过程中， E 的变化率一直增大
D ．在 到
的过程中， E 的变化率一直减小
BC
【详解】 AB ．如图所示
在 到
的过程中，线框的有效切割长度先变大再变小，当
时，有效切割长度最大为
，此时，感应电动势最大，所以在
到
的过程中， E 先增大后减小，故 B 正确， A 错误；
CD ．在 到
的过程中，设转过的角度为
，由几何关系可得
进入磁场部分线框的面积
穿过线圈的磁通量
线圈产生的感应电动势
感应电动势的变化率
对 求二次导数得
在 到
的过程中
一直变大，所以 E 的变化率一直增大，故 C 正确， D 错误。
故选 BC 。
如图所示，某同学将离地 的网球以
的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离
。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
的 P 点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的 0.75 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度 g 取
，网球碰墙后的速度大小 v 和着地点到墙壁的距离 d 分别为（ ）
A ． B ．
C ．
D ．
BD
【详解】设网球飞出时的速度为 ，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到 点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离
故 BD 正确， AC 错误。
故选 BD 。
某同学采用图甲所示的实验装置研究光的干涉与衍射现象，狭缝 ，
的宽度可调，狭缝到屏的距离为 L 。同一单色光垂直照射狭缝，实验中分别在屏上得到了图乙，图丙所示图样。下列描述正确的是（ ）
A ．图乙是光的双缝干涉图样，当光通过狭缝时，也发生了衍射
B ．遮住一条狭缝，另一狭缝宽度增大，其他条件不变，图丙中亮条纹宽度增大
C ．照射两条狭缝时，增加 L ，其他条件不变，图乙中相邻暗条纹的中心间距增大
D ．照射两条狭缝时，若光从狭缝 、
到屏上 P 点的路程差为半波长的奇数倍， P 点处一定是暗条纹
ACD
【详解】 A ．由图可知，图乙中间部分等间距条纹，所以图乙是光的双缝干涉图样，当光通过狭缝时，同时也发生衍射，故 A 正确；
B ．狭缝越小，衍射范围越大，衍射条纹越宽，遮住一条狭缝，另一狭缝宽度增大，则衍射现象减弱，图丙中亮条纹宽度减小，故 B 错误；
C ．根据条纹间距公式 可知照射两条狭缝时，增加 L ，其他条件不变，图乙中相邻暗条纹的中心间距增大，故 C 正确；
D ．照射两条狭缝时，若光从狭缝 、
到屏上 P 点的路程差为半波长的奇数倍， P 点处一定是暗条纹，故 D 正确。
故选 ACD 。
一列简谐横波沿 x 轴传播，平衡位置位于坐标原点 O 的质点振动图像如图所示。当 时，简谐波的波动图像可能正确的是（ ）
A ． 
B ． 
C ． 
D ． 
AC
【详解】由 O 点的振动图像可知，周期为 T =12s ，设原点处的质点的振动方程为
则
解得
在 t =7s 时刻
因
则在 t =7s 时刻质点在 y 轴负向向下振动，根据 “ 同侧法 ” 可判断若波向右传播，则波形为 C 所示；若波向左传播，则波形如 A 所示。
故选 AC 。
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