如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做圆周运动，已知地球半径为R，轨道1半径是2R，现在欲将飞船转移到另一个半径为4R的圆轨道2上去，已知地球表面处的重力加速度为g，飞船质量为m，万有引力常数为G，求：
（1）地球的质量
（2）飞船在1、2两个轨道上做圆运动的的环绕速度之比v1:v2=?
（3）理论上，若规定距地心无穷远处为引力势能零势能点，飞船和地球系统之间的引力势能表达式为
，（其中r为飞船到地心的距离）请根据理论，计算完成这次轨道转移点火需要的能量
（1） 
（2） 
（3） 
【详解】
（1）设在地面附近有一小物体m0：m0g=G
，可得地球的质量M=
（2）飞船在轨道1有：G
=m
，v1=
飞船在轨道2有：G
=m
，v2=
可得：v1
v2=
（3）设飞船在2R和4R轨道上稳定运行时的机械能分别为E1和E2，则：
E1=Ek1+Ep1，Ek1=
m
，G=m，Ep1=-
，E1=-
=-
同理可得：E2=-
=-
所以完成这次轨道转移点火需要的能量
E=E2-E1=
计算天体质量与密度：
1、用万有引力定律求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度：通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。
，得：
； 
，得：
； 
和
，得：
； 
，得：
——此式通常被称为黄金代换式。 
；天体密度：
（由
，
，
，r指球体半径，R指轨道半径，当R=r时，
）。 计算天体质量与密度：
1、用万有引力定律求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T和轨道半径r或天体表面的重力加速度g和天体的半径R，就可以求出天体的质量M。以地球的质量的计算为例
①若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和半径r，根据： ，得：；
②若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和半径r，根据： ，得：；
③若已知月球绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T，根据： 和，得：；
④若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据： ，得：——此式通常被称为黄金代换式。
2、用万有引力定律计算天体的平均密度：通过观测天体表面运动卫星的周期T，就可以求出天体的密度ρ。
天体球体积：V=；天体密度：（由，，，r指球体半径，R指轨道半径，当R=r时，）。
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