如图，刚性细轻杆（其质量可视为零）可绕通过其中的点
的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为
和
的小球1和2（可视为质点）串在轻杆上，它们与轻杆之间的静摩擦系数为
。开始时轻杆静止在水平位置，小球1和2分别位于紧靠轻杆两端
和
的位置。现让系统自水平位置以零初速下摆，求
1．小球1脱离轻杆时的位置（用小球1脱离杆时杆与水平线的夹角表示）；
2．小球2脱离轻杆时的位置（用小球2脱离杆时杆与水平线的夹角表示）。
【收录时间】
2011-07-07
【知识点】
物理竞赛
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设轻杆的杆长为
，当杆与水平线的夹角为
时，球1和球2的速度分别为
和
，杆转动的角速度为
。因机械能守恒，有
。 （1）
又因
， （2）
可由（1）、（2）解得
（3）
轻杆与两小球构成的系统对转轴的角动量
， （4）
由角动量定律有
。 （5）
根据角加速度
的定义
， （6）
由（2）、（4）、（5）、（6）各式得
。 （7）
当两球都未脱离轻杆时，两球都绕转轴作圆周运动，球1的切向加速度和法向加速度分别为
（8）
（9）
以
表示沿垂直于轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，以
表示沿着轻杆方向球1与杆的相互作用力的大小，根据牛顿第二定律，有
， （10）
（11）
由（3）、（9）、（10）、（11）各式得
。 （12）
。 （13）
对2球作同样的分析，沿垂直于轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小
与沿着轻杆方向球2与杆的相互作用力的大小
分别为
， （14）
。 （15）
由（12）、（14）式可知，杆与小球1、杆与小球2的最大静摩擦力相等，而（13）、（14）式表明小球1与杆的摩擦力大于小球2与杆的摩擦力，故在转动过程中，小球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设1球开始滑动时，细杆与水平线夹角为
，则
，
即
， （16）
由（16）式并代入数据得
。 （17）
当
时，球1开始向外滑动。由于球1的初始位置紧靠轻杆末端，球1从开始滑动到脱离细杆的时间可忽略不计，因此球1脱离细杆与水平线夹角也为。
球1一旦脱离轻杆，因轻杆没有质量，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜舞女运动，注意到（2）、（3）、（7）各式，抛出时的初速度
。 （18）
初速度的方向与水平线的夹角
。 （19）
在球2作抛体运动的过程中，球与轻杆间虽无相互作用，但球仍套在杆上，轻杆将跟着球运动，但不会干扰小球的运动。当球离转轴的距离再次等于
时，球2便脱离轻杆。建立如图所示的坐标系
，根据斜抛运动规律可得任意
时刻（取球2开始作抛体运动的时刻为计时起点）球2的位置坐标
， （20）
， （21）
球2脱离细杆时有
。 （22）
利用（17）、（18）、（19）各式得
， （23）
从而解得
。 （24）
此时
。 （25）
设球2脱离细杆时细杆与水平线夹角也为
（如图），则
， （26）
（或
弧度）。 （27）
评分标准：（3）式2分，（7）式3分，（12）~（15）式各1分，（16）式2分，（17）式1分，（18）式2分，（19）式1分，（20）~（22）式各1分，（26）、（27）式各1分。
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2011-07-07
综合题
中等
李明涛